测量负反馈电路环路增益T的两种常用方法是Middlebrook的双注入法和Rosenstark的开路/短路法。两种方法都适用于计算机仿真和在工作台上进行人工测试。本文将指出这两种方法的相似性、差异性和独特性，以免将它们混淆。
图1：负反馈电路。
图1是一个负反馈电路的简化示意图：假定增益元件为一个压控的电流源；此外，其连接端左侧的所有无源元件合并成等效阻抗Z1，右侧的合并成Z2。由于没有外部信号输入，电路处于休眠状态。现在求它的环路增益T。我超级喜欢回归比分析法（return ratio），所以引用图2a的电路图，通过观察并根据欧姆定律我们列出Ir=GmV=Gm(-Z1||Z2)It。设环路增益T=-Ir/It，得到：
图2：通过（a）回归比分析（b）断开环路并在返回侧终接合适的阻抗，得到图1电路的环路增益T。
回归比分析要求我们可以访问受控源模型的增益。目前而言，理论上是这样处理ac模型的，但在面对晶体管级的实际电路时，无论是在计算机仿真还是在工作台人工测试的过程中，我们都无法访问其受控源，因为它藏在提供增益的晶体管内部。另一种方法是断开反馈通路，正向注入一个测试信号，并在返回侧测量其响应。为了使这种方法成功，返回侧的终端阻抗必须要与环路断开前信号所遇到的相同。这个例子中该阻抗为Z1，如图2b所示。现在Vr=-(Z1||Z2)GmV=-(Z1||Z2)GmVt。设环路增益T=-Vr/Vt，结果不出所料，再次得到公式(1)。
终端阻抗Z1的值并不总是一眼就能看出的。Rosenstark方法的妙处就是在返回侧实施一对环路测量，首先是终端开路时测量，然后是终端短路时测量，将这两个测量值适当地结合起来得到所需的回路增益T，而不管Z1的值是多少。此方法如图3所示，经检视，我们得到：
图3：通过Rosenstark方法求图1电路的环路增益T：(a)返回侧终端开路时求Toc (b)返回侧终端短路时求Tsc。
设：
我们得出：
将Gm=T/(Z1||Z2)代入公式(1)，稍微整理后，我们得到：
公式两边分别相乘，得出：
从而导出T的重要关系式：
有趣的是，Toc和Tsc以并联电阻的形式相结合，因此其中一个应该比另一个小得多，小的那个将占主导地位。
我是电流反馈放大器(CFA)的粉丝，因此我将使用PSpice对之前讨论过的CFA实施Rosenstark测量。图4显示了测量Toc和Tsc所需的一对ac模型，图5显示了测量结果。环路增益T在80.18MHz频率处穿过0dB线，相位裕度90.18°，相移–89.82°，结果与之前讨论的一致。
图4：将Rosenstark测量法应用于电流反馈放大器（CFA）的ac模型。
我们发现T非常接近Tsc，这表明输入端的反馈主要是电流形式的(这个放大器类型的名称由此得来)。为了定量了解，我们从公式(3)推导出以下重要关系：
在我们的电路中，Z1=rn=25Ω，Z2=RG||(RF+ro)=138.89||(1250+50)=125.5Ω，所以由公式(5)预知Toc/Tsc=125.5/5=5.02，或14dB。我们可以利用Toc和Tsc的低频渐近值（分别为1929和384.3）来进行检验，两者的比值为5.02，表明两条迹线之间有14dB的移位。由公式(5)可知，如果反馈回路上有一个点|Z1|<<|Z2|，那么在该点上我们就有|Tsc|<<|Toc|,因此可能只需通过短路测量，Tsc就可为T提供一个合理的近似值。
图5：图4中CFA的Toc、Tsc和T的曲线。
经过双重推理而知，在|Z2|<<|Z1|的那一点断开环路，也可以仅通过开路测量法给T求得一个适当的估计值。在我们的CFA示例中，ro和RF的连接点非常适合开路测量。这里Z2=ro=50Ω且Z1=RF+(RG||rn)=1250+(138.89||25)=1271。由于1271/50=25.4，或28dB，迹线会显示28dB的移位，并且Toc近似T产生的误差大约是1/25，即4%。
上面所述的开路/短路技术在ac型的电路上效果很好。如果电路由具体的晶体管组成，比如图6a中的反馈偏置BJT，又会怎样呢？
图6：（a）反馈偏置电路(b)使用合适的大串联电感和并联电容，在X点应用Rosenstark测量法。
在图中所示三个点中的任意一个点断开环路，然后引入开路或短路，将会破坏直流偏置条件，使电路失效。为了在不干扰直流条件的情况下建立交流开路，我们使用一个串联电感，它起到直流短路的作用，并且我们选择足够大的尺寸让它在所需频率范围内提供足够高的阻抗。通过双重推理，为了在不干扰直流条件的情况下建立一个交流短路，我们用一个并联电容，它起到直流开路作用，它的尺寸足够大到可以在所需频率范围内提供足够低的阻抗。图6b显示了一对结合上述思想的PSpice仿真电路，图7显示了结果。环路增益T在6.02MHz频率点穿过0dB线，此处显示对于85.4°的相位裕量，相移为-94.6°。
图7：图6电路的Toc、Tsc和T的曲线。
Middlebrook测量法通过将小信号交流源直接嵌入电路，使直流工作点不受干扰，因而无需再使用大电感和大电容。如图8所示，串联测试电压源Vt使电路正向响应电压为Vf，反向响应电压为Vr。通过双重推理，并联测试电流源It使电路正向响应电流为If，反向响应电流为Ir。将节点法应用于图8a电路，环路法应用于图8b电路，得到：
图8：通过Middlebrook的双注入技术求图1电路的环路增益T：(a)电压注入求Tv (b)电流注入求Ti。
设：
将Gm=T/(Z1||Z2)带入公式（1），得到：
重新整理为：
公式的两边分别相乘，得到：
很容易得出T为：
同时也可以很容易地验证另一个表达式成立：
另外，将公式(7)改写成：
然后公式的两边分别相除，得出下面的重要关系式：
公式(9)表示，1+Tv和1+Ti两项以并联电阻形式结合，所以其中一项应该比另一项小很多，而小的那项会占主导地位。从物理上讲，如果Z1<<Z2，那么测试电流It的大部分会流入Z1，从而使Ti变小，而测试电压Vt的大部分会向Z2延伸，从而使Tv变大。因此，在这种情况下，T会接近Ti。反之，如果Z2<<Z1，Vt的大部分会向Z1延伸，因此使Tv变小，而It的大部分会流向Z2，因此使Ti变大，说明此时T会和Tv很接近。
现在我们用PSpice重新测量CFA的环路增益T，这次用Middlebrook测量法。图9显示了测量Tv和Ti所需的一对ac模型，图10显示了测量结果。
图9：将Middlebrook测量法用于图4中的CFA电路。
图10：图9中CFA的Tv、Ti和T以及1+Tv、1+Ti和1+T的曲线。
环路增益T在80.18MHz频点处穿过0dB线，此处显示对于90.18°相位裕量，相移为-89.82°。所有这些与先前用Rosenstark的方法测量的结果一致。
注意，在公式(6)~(10)中，Vt和It都没有明确出现。它们只是用来驱动电路做出响应的激励，前向响应信号是Vf和If，反向响应信号是Vr和Ir，所以它们的大小(甚至它们的极性)都是无关紧要的。
我们也注意到Rosenstark测试法的公式(4)和(5)与Middlebrook测试法的公式(9)和(10)之间的相似性，除了后面的公式中有“+1”项。比较图5和图10a可以看出，低频时差异可以忽略不计，因为各个项与单位值相比较大。然而，当我们接近交越频率时，差异变得明显了。同样具有启发的是图10b中的曲线，能看出它们遵从公式(10)。
图11描述使用Middlebrook法来测量图6a中反馈偏置电路的环路增益。请注意这里没有用大的电感和电容。
图11：采用Middlebrook测试法重新测量图6a所示电路的环路增益T。
我们通过对图12中电流放大器(也称为I-I转换器)进行详细分析来总结一下。电路采用一个具有开环增益的电压放大器：
其中av0是直流增益(av0=60V/V)，ω0是-3dB角频率(ω0=62832=2π104rad/s，对应10kHz)。我们借助图13a的PSpice电路绘出闭环电流增益，PSpice电路使用拉普拉斯块来仿真放大器，还有一个0V直流源，用来仿真短路负载并检测输出电流。图13b显示了一个1.9728A/A的直流和0.75A/A的高频渐近线。
图 12：负载短路的电流放大器。
我们把闭环电流增益用一个数学表达式来表示。0.75A/A的高频渐近线表明放大器周围存在信号馈通，因此我们预想闭环增益表达式如下：
图13：(a)用于图12中电流放大器的PSpice电路 (b)闭环电流增益。
图14：绘制T的PSpice电路 (a)使用Rosenstark测量法 (b)使用Middlebrook测量法。
其中Aideal是T→∞时A的值，馈通增益aft是T→0时A的值。
我们可以很容易地用Rosenstark或Middlebrook方法测出T。环路中便于执行两种测试的点是放大器的反相输入端，其阻抗呈现无穷大，公式(5)或(10)表明只需一次测量就足够了，即Rosenstark方法中的Toc，或Middlebrook方法中的Tv。这两种电路如图14所示(请注意，Rosenstark电路使用了一个0A的假电流源，以避免R2浮动，这种状态是PSpice不喜欢的)。两种测量方法给出了相同的T曲线，如图15a所示(为方便起见，也绘制了av曲线)。交越频率大约是445kHz，相位裕量约为90°。
参考Rosenstark电路，我们注意到，当测试电压Vt通过环路传播，首先被放大–av倍，然后由分压器ro-R1衰减，最后产生Voc(注意，R2两端没有电压降，因为R2的电流为零)，因此我们有：
请看图14，其实只需简单地将测试源Vt的接地端断开然后连接到R2，Rosenstark电路就可以变成Middlebrook电路。
图15 ：(a) 环路增益T 和开环增益av (b) 显示了 Middlebrook 测量中使用的电压。
对Vt作出响应，Middlebrook电路产生电压Vf和Vr，而它们的比率-Vr/Vf就是环路增益T，根据KVL（基尔霍夫电压定律），Vf–Vr=Vt。有趣的是，在图15b中，我们观察到电路是怎样通过负反馈不断调整Vf和Vr，以满足上述两个条件。
接下来，利用T→∞和T→0，并且使av→∞和av→0，让由公式(12)可得到Aideal和aft。根据图12，我们注意到av→∞意味着反相输入节点处为虚地，所以R1和R2降低相同的电压，R1I1=R2I2，其中I1和I2是它们的电流。因为I2=Ii，我们有I1=(R2/R1)Ii，所以根据KCL，到达负载的总电流是Io=I1+I2=(1+R2/R1)Ii。取Io/Ii的比值，我们得到：
使图12中av→0，于是Ii在ro和R1之间分开，所以得出如下分流公式：
通过执行图13a的PSpice电路可以轻易地验证上述增益，首先让av=1M(近似无穷大)，然后让av=0。
将公式(13)~(15)代入到公式(12)，经过一些代数运算，得到：
注意，馈通增益对1.9728直流增益贡献了0.75/90=0.833%。通过PSpice绘制A(s)得到与图13b完全相同的曲线，这确认了1.9728A/A和0.75A/A的低频和高频渐近线，还表明极点频率为0.46MHz，零频率为1.21MHz。值得指出的是，我们通过双端口分析研究了图12的电路，却一直无法得到公式(16)。
小测试：在图12电路中，负载LD看到的阻抗是多少?用Spice来验证。
通常用两种方法求得的T的结果是相同的，这可以从图4和图9的CFA电路以及图14的电流放大器电路得到证实。然而，有些情况下结果可能会有所不同，图6和图11的反馈偏置电路就如此：前者交越频率为6.02MHz、相移为-94.6°，而后者交越频率为6.22MHz、相移为-94.0°。这种差异源于Middlebrook方法固有的不准确性，如下所述。
公式(7)表明，在高于交越频率时，当T→0，我们有Tv→Z2/Z1和Ti→Z1/Z2，也就是Tv和Ti几乎跟T无关，而只受阻抗Z1和Z2影响。因此，若用公式(8)根据Tv和Ti来计算T，很可能得到不准确的结果。特别是真正的环路增益在高于交越频率时可能显示的高次根如果不被忽略的话，很可能是错误的。为了克服这些限制，Middlebrook开发了一种改进的方法。
尽管如此，Middlebrook的单注入法在电源稳定性评估中得到了广泛的应用，测试时在低阻抗输出节点处开路，通过插入一个简单的串联变压器来测量Tv，而不需要庞大的电感。
（原文刊登于ASPENCORE旗下EDN英文网站，参考链接：Middlebrook’s and Rosenstark’s loop gain measurements?）
本文为《电子技术设计》2019年5月刊杂志文章。
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