在时域和频域中估算信号带宽的方法有很多种，比如我们之前讨论过的信号上升时间（tr）和带宽（f3db）之间的通用公式：
信号完整性大师Eric Bogatin还提供了经验法则2，即根据时钟频率来估算信号带宽。Eric强调，用上升时间来计算信号带宽是完全正确的，但使用经验法则2可以快速得到合理的答案：
Eric曾在他的文章中提出了一个关键性假设，即上升时间占整个周期的7％。这是一个合理的假设，可以让我们得出正确的上升时间。当然实际上有些信号会快些，有些会慢些。
估算信号带宽的另一种方法是通过频域分析，具体地说就是使用傅里叶级数来估算。方波的傅里叶级数如图1所示。
该级数具有无数个奇次谐波，它们组合起来代表方波。等式中有一个项是1/n，因此每个更高次谐波的振幅都小于前一个谐波。由于理想方波具有零上升时间，所以信号带宽将是无限的。换句话说，无限个谐波才能完美地表达方波。另外，时间标度是任意的，波形周期是十个时间单位。
图1：方波时域图，可采用任意时间和幅度标度，这里分别选择10和1。
表1列出了从基波（n=1）到11次谐波的各个正弦波项的系数（零到峰值）。
表1：包含11次谐波的方波的傅里叶级数系数。
我们来看看需要包含多少次谐波才能让波形看起来是一个像样的方波。图2仅显示了基频，即单纯的正弦波。
图2：与图1中方波相关的基频正弦波的峰值幅度为1.273。
图3增加了三次谐波，波形开始像方波了。
图3：基波和三次谐波叠加的曲线开始像方波了。
图4增加了五次谐波，现在看到的波形更接近方波。
图4：基波、三次和五次谐波图更加接近方波。
每增加一次谐波，产生的波形看起来就更像方波。限于文章篇幅，这里就不展示表1列出的所有谐波了，图5显示了增加到11次谐波的波形。高次谐波使波形更加趋向方波，并只在波形的平坦部分存在高频波动。
图5：叠加到11次谐波的波形图变得非常接近方波。
添加特定数量的谐波相当于在频域中应用“砖墙式”低通滤波器。波形中只包含所需的谐波，消除了高次谐波。这么说有点理想化，因为在真实世界中仍然会遇到一些频率响应，在逐渐衰减的过程中仍然残留一些高次谐波。
五次谐波的波形看起来已经很像样了，我们来仔细看看这种情况。图6中将五次谐波波形的水平轴扩展了，这样就可以利用图形技术确定上升时间。
图6：扩展的时间标度显示了五次谐波波形的上升时间。
让我们找到波形上10％和90％的点并估算上升时间。总信号摆幅为2个单位，因此10％和90％的点分别对应-0.8和+0.8。上升时间为2×0.37=0.74单位。回想一下，波形的周期是10，因而上升时间是0.74/10，约等于整个周期的7％。现在，体会到它的有趣之处了吗？这非常接近经验法则2中假设的7％上升时间。当然，选择叠加五次谐波是根据波形形状随意做出的决定。但这的确是个不错的选择！我们有可能需要更多或者更少谐波，这都要视具体的应用而定。
总而言之，我们使用傅里叶级数分析来确定方波中的谐波幅度，然后估算由基波加上三次和五次谐波组成的方波的上升时间，结果与根据经验法则2估算出的数字信号的带宽（时钟频率的五倍）结果非常一致。
（原文刊登于ASPENCORE旗下EDN英文网站，参考链接：Find a signal's bandwidth from its harmonics。）
本文为《电子技术设计》2019年6月刊杂志文章。
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