我在之前的一篇文章中答应会更深入地探讨有关滤波器设计和网络理论的问题，因为当时我在赶写一篇有趣的文章，匆匆略过了这些细节。所以，现在是第一次“深入思考”：为什么要将源电阻和负载电阻设置为相同的值？
本文中使用的滤波器拓扑结构称为双端接LC梯形滤波器。由电感器和电容器构成的网络有两个“端口”——即信号得以输入和输出网络的出入口。在我们的滤波器中，信号通过一个具有特定电阻值的源进入输入端口（该电阻可能位于他人的设备中，所以阻值通常无法更改），而输出端口连接到——也可以说加有——另一个电阻。
图1是一个滤波器的示例，例子中的滤波器端接一个电阻，其值与源电阻阻值相等。图2显示了良好而平坦的通带响应，图3则表明如果不使用端接电阻将得到相当糟糕的响应曲线。
图1：双端接低通滤波器网络示例。
图2：有负载电阻时，图1电路的电压增益。
图3：无负载电阻时，图1电路的电压增益。
我们可以看到，对于所使用的一组特定值，只有在端接了负载电阻时才能实现低纹波平坦响应。这并不是因为接入了两个电阻，图4显示了一组网络元件值，其给出的幅度响应（如图5）与图2相同，却并没有接入负载电阻，注意它的电压增益为0dB而不是6dB。在大多数实际应用中，你肯定会采用这样的滤波器，对吧？同样的响应、更高的增益，还可能节省一个元件，有什么理由不爱呢？
图4：不采用负载电阻时的一组元件值。
图5：不使用负载电阻仍具有良好而平坦的响应曲线。
好吧，图6和图7解释了为什么我们要拒绝（很抱歉）这种“单端接”方法的诱惑。每个图都显示了100个重叠在一起的响应曲线，元件值可以在±5％的范围内变化。我们清楚地看到，当所用元件值发生一些小变化时，双端接滤波器的容差性确实更好。如果我们使用一些设计技巧，可以在这些电感器一个都不用的情况下以这些网络作为有源滤波器“原型”，而使滤波器的这种特性仍然可以保留。
图6：图1中元件值的蒙特卡罗分析（双端接）。
图7：图4中元件值的蒙特卡罗分析（单端接）。
双端接滤波器到底有什么特别之处？要回答这个问题，我们需要了解当信号在LC网络中从源电阻传输到负载电阻的过程中发生了什么。
这里我们来讲一点题外话，即如何培养思维。假如你应聘一个模拟设计的职位时被问到下面的问题：
“有一个正弦波信号发生器，输出阻抗为50Ω，开路时产生1Vrms电压。客户提供了一个输入阻抗为3.3kΩ的黑盒子，为了使其正常工作，它需要输入信号在50kHz时至少提供3Vrms的电压。现在要在没有电源的情况下使系统正常工作，而实验室中唯一能用的电子元件是无源双线元件。说说你如何解决这个问题，以及系统如何工作。”
这意味着没有电池，也没有晶体管或IC，更没有变压器。在看答案之前，请先想一想（特别是在你马上就要面试的情况下）。图2应该能提供一些思路。好了吗？这里有一个成功的解决方案：
图8：针对上述刁钻的面试题给出的解决方案。
图9：图8解决方案的频率响应。
只采用无源双线元件即可构建一个高Q值低通滤波器。图9显示了当信号发生器开路电平设置为1Vrms时，黑盒输入电压随频率的变化。显然我们已经得到让系统在指定频率下正常工作所需的电压增益。这下可以领免费午餐了吗？
好吧，当然没得领啦。我们应该问一问：“从该解决方案中得到的最大电压增益是多少”。要得到答案，首先必须清楚，虽然从一组无源元件中获得电压增益很常见，但要得到功率增益则不太可能（因为能量守恒）。要弄清这些无源滤波器网络中发生了什么，就必须明白能量是如何进入和离开网络的。如果电源有一个特定的输出电阻，能提供特定的输出电压，那么相连的负载最多能够消耗多少功率都有严格的限定。你大学时应该学过最大功率传输定理，但可能没太在意。在无源滤波器设计中该定理非常重要，必须记住。
你可能还记得，最大功率传输条件是负载电阻等于源电阻，用一些陈旧的大学微积分知识就可以证明它。利用负载电阻功率消耗的表达式，计算该功率相对于负载电阻RL的导数，设该导数为零，并求解RL。
你的第一个想法可能是使用变压器，这是在负载电阻不等于源电阻时最常用的方法。变压器将功率从源电阻传递到负载电阻，没有任何损耗（理想状况下），不过它一般用于电压、电流不同的情况。使用正确的匝数比，无论负载电阻值如何，负载电阻都可以获得理想的功耗。
这正是图8中的简单LC滤波器网络所实现的：我们制作了一个变压器。所有输入LC网络的功率又被输出，采用正确的元件值，无论负载电阻为何值，在所要求的频率下功率都可以全部传递到负载。
当使用变压器或等效的LC电路时，我们可以计算出50Ω源电阻和3.3kΩ负载电阻之间可能产生的最大电压增益。电压的变换等于阻抗之比的平方根，此例中为8.12倍。此时的电压增益是我们在相同端接的情况下获得的电压增益的一倍。因此，采用任何LC值可以获得的最大总增益应该为4.06x或大约12.2dB。图10显示了在我们自制的LC变压器中随机选择1000个不同的L值和C值的结果，响应曲线的峰值绝对不会超过预测值。在每个频率下增益值各不相同的原因是，负载不会耗散所有的功率，其中一些功率被“反射”回源电阻。
图10：所有曲线的峰值都不会超过最大增益值。
RF人士这会儿估计都不耐烦地打着哈欠了，因为这一切对你们来说太容易了。在设计LC网络时，应确保所有宝贵的源功率都传输到负载，这是称为阻抗匹配的核心RF技术。这确实很像在两个阻值不等的电阻器之间设计滤波器（每个电阻器可能还有它自己的虚部需要考虑），通常采用L和C实现就可以了，用不着体积庞大且价格昂贵的变压器。微波频段的变压器既不笨重也不昂贵，所以是个例外，但当导体过于靠近时又会产生较大干扰。
现在回到我们最初讨论的问题。为什么（正确设计的）双端接滤波器具有如此优越的“灵敏度”？这是因为对于滤波器通带内的一个或几个频率，它工作在最大功率传输点上。再看一看图6和图7，在双端接滤波器的例子中，如果元件值发生任何变化，功率传输（相应地电压增益）会下降而不是上升。在一些称之为反射零点的关键频率上，滤波器响应的“灵敏度”是网络中每个无功元件的开口向下的抛物线函数，与功率传输不受约束的情况相比，网络响应不容易出错。在单端接时，或者在所设计的滤波器响应实际上没有达到最大功率增益值的情况下，网络响应会出现错误。要得到最大功率增益值，需要摒弃滤波器并代之以具有正确转换率的理想变压器。
还有，文章开始时我们比较了两种滤波器：一种是负载电阻等于源电阻，另一种不带负载电阻。那么，对于任何给定的源电阻和负载电阻比值，无论电阻比是多大，我们能否制作出具有低灵敏度和相同频率响应的令人满意的滤波器呢？好吧，有时候是可以的。但是对于这种特定的低通滤波器，却不可以。对这种特定的响应，我们想要的是平坦的响应，其DC增益等于那些最大“触点”值。这意味着在灵敏度最低的滤波器中，源电阻和负载电阻必须相等。更普遍的情况是，如果不必用衰减的办法让频率全通过或全不通过，那么通常可以在任意两个阻抗之间实现具有最低灵敏度的（即最佳匹配）滤波器。关于如何实现这样的滤波器，那可以写好几本书呢。
希望你现在已感受到最大功率传输定理的神奇，它为我们提供了一些要求高但可行的滤波器设计方法。未来我们还会进一步讨论这个主题。
（原文刊登于ASPENCORE旗下Planet Analog网站，参考链接： Match Point: Why Maximum Power means Minimum Sensitivity。）
本文为《电子技术设计》2019年8月刊杂志文章。
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