在之前的文章中，我们研究了信号x(t)的傅立叶变换的一些特性。总结一下：
考虑到傅里叶变换是可逆的，我们可以写成：
这个概念如图1所示。
图1：傅里叶变换的反演运算
让我们设想一个电路，它携带的电流在短时间内保持恒定值，然后消失。理想情况下，我们有：
其中持续时间T足够小。此外，我们假设i0=Q0/T，其中Q0是与电流i0值相关的电荷(图2)。这个理想的实验使我们能够控制电流的持续时间T，同时保留电荷值。因此，通过减小T，我们得到如图3所示的趋势。
图2：方程(3)的电流趋势
图3：持续时间T值减小的方程(3)的电流趋势。出于图形的原因，我们仅针对起始值突出显示i0/T
T的逐渐减小在数学上由极限通过运算表示：
这显然是无稽之谈。然而，运算(4)中所涉及的电荷是Q0。事实上，电荷由下式给出：
也就是说，图2中与T无关的矩形的面积：
因此，“电流”(4)仍然与电荷Q0相关。由于(4)的模糊性，我们使用了引号。然而，结果(6)是显而易见的，因为“电流”尽管有一个无穷大的峰值，但持续时间却无穷小，并且我们知道0·∞也是无穷的形式，在这种情况下，它返回的是最终量Q0。用符号表示就是：
其中δ(t)是狄拉克δ函数：
式(6)涉及：
这一特性可概括为如下式子：
其中g(t)是任意正则函数。因此，积分值等于δ函数自变量消失时g(t)所假定的值。由此可见，对于一个平移的δ函数，我们有：
请注意，δ函数的量纲是其参数的倒数。因此，在我们的例子中，它具有时间的倒数(即频率)的量纲。
根据δ函数，电流(4)可以写成如下：
这就是所谓的单位脉冲或数学脉冲(图4)。
我们已经考虑了电流的具体情况，但也可以考虑电压。这里，单位脉冲可以写为v(t)=Aδ(t)，其中A是一个常数，量纲为V·s。
图4：单位脉冲的图形表示
任何单位脉冲在t=0处出现奇点都不会吓到我们，因为脉冲在任何情况下都会在无穷远处为零，因此我们预计傅里叶积分会收敛。事实上，对于特性(10)，我们有：
也就是说，单位脉冲的傅立叶频谱是平坦的。从物理上讲，这意味着单位脉冲可以分解为无数个从−∞到+∞的正弦频率振荡。
为了定义单位脉冲，我们从矩形脉冲(3)开始，它在数学上更简单。从正弦振荡开始也能得到同样的结果，正弦振荡从−T/2处开始并在T/2处抵消。
我们建议读者证明傅里叶变换是一个“sinc”函数，即sin(f−f0)/(f−f0)类型，其中f0是截断振荡的频率。通过减少后者的持续时间，sinc函数“变宽”，在T→0的极限范围内变得严格平坦，从而再现了单位脉冲的傅里叶变换。相反，如果持续时间T逐渐增加，则sinc函数“收缩”，并且对于T→+∞为δ(f−f0)，即以f0为中心的δ函数。这并不奇怪，因为我们现在有一个频率为f0的从−∞到+∞的完整振荡，因此傅里叶频谱是一条以f0为中心的线，在数学上用δ(f−f0)表示。
我们的结论是，必须牢记以下双重性：
(原文刊登于EDN姊妹网站Power Electronics News，参考链接：Does the Fourier transform of the unit impulse exist?，由Ricardo Xie编译。)
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