信号的采样过程是一种理想形式，因为它在时间轴上从−∞延伸到+∞，因此有无数个瞬时tn。这就破坏了使用电子计算器对采样信号进行频率分析的可能性。因此，我们需要一个能够返回有限数量的瞬时(样本)的真实采样过程。
从数学上讲，“截断”信号相当于将信号乘以一个时间窗口，如下所示：
相应的图表如图1所示。
图1：时间窗口示例
由此可见，对于在整个时间轴上延伸的任何信号，对于指定的τ，截断信号由下式给出：
在计算截断信号的傅立叶变换时，卷积定理会对我们有所帮助，正如之前的教程中已经介绍过的那样。因此，我们省略了这些步骤并重点介绍截断正弦测试信号的具体示例：
傅里叶变换是下面的sinc函数：
Xτ(f)的趋势如图2所示。请注意，在τ→+∞的极限中，由于sinc函数的已知特性，通过无限增加信号的持续时间，傅里叶变换(4)将变成以f0为中心的狄拉克δ函数，因为我们现在有一个纯正弦信号，所以它一定是这样。
另一方面，对于有限的τ值，频谱分布趋于“加宽”，从而呈现出由δf=f1−f-1给出的频率色散，其中第二部分中的项是经傅立叶变换消失的第一个(对称)频率(图2)。快速计算可得δf=2/τ。频率色散(被称为频谱泄漏)表示由于采样而导致混叠的信号进一步失真。可以通过增加时间窗口的持续时间或使用非矩形窗口(平滑窗口)来减少这种失真。
图2：截断的信号频谱(3)
无论是在采样信号xc(t)的情况下，还是在截断和采样信号xτ,c(t)的情况下，频率都从-∞到+∞连续变化并且可以被离散化。由此产生的算法让我们能将时域tn=nTc转换为频域fn，缩写为DFT：离散傅立叶变换。抛开下标τ,c不看，假定样本序列{xn:n=1,…,N}为周期性的，周期为τ=NTc，即频率由下式给出：
频域采样遵循f→fn=kfτ：
其中我们考虑到了方程(5)。结果是：
此处，Xh=X(fh)，其中h=0,1,…,N−1。复数序列Xh定义了xτ,c(t)的DFT。更准确地说，复数Xh被称为h的频谱分量。在连续情况下，傅立叶变换Xτ,c(f)的量纲为x(t)除以频率，因为Xτ,c(f)是频谱密度(每单位频率间隔内频谱分量的幅度)。
然而，在离散情况下， Xh与x具有相同的量纲，因为Xh不是频谱密度而是分量的幅度。将方程(7)反转：
以对称形式，我们有：
提供频率分布信息的频谱分量是k=0,1,..,N/2的频谱分量。由式(6)我们可以得出：
频率由下式给出：
这就是所谓的折叠频率。让我们将这些概念应用到下面的调幅正弦信号的研究中：
如图3所示，指数衰减让我们能用持续时间τ=4秒的窗口截断信号。我们使用Tc=10−2s进行采样，因此fc=10Hz。通过使用Mathematica执行傅里叶变换，我们可以得到相应频谱的图表(图4)，其中横坐标出现的是样本，而不是频率。为了使后者出现，我们必须使用方程(6)。
图3：信号被截断(12)
图4：截断和采样信号的傅里叶频谱(12)
通过向Mathematica发送正确的指令(通过列表)，我们获得了频谱与频率的函数关系，如图5所示。但是，它仍然不是很清楚。让我们尝试缩小范围，获得如图6所示的频谱。从中，我们可以看到3Hz左右的峰值，这正是正弦波振荡的频率(ν0控制调制包络的宽度，因此尽管它具有过去倒数的量纲，却不是频率)。回到图5，我们可以看到折叠频率为50Hz，从这一频率开始，频谱就是之前频谱的翻版。我们可以得出结论，所研究信号的傅里叶频谱仅在3Hz附近才与零点有明显不同，因此3Hz是主频。
图5：截断和采样信号的傅立叶频谱与频率的函数关系
方程(9)可以写成矩阵形式。准确地说，是N阶方阵的行乘列与N行列向量的乘积。因此，DFT的计算需要N2量级的多次运算。由此我们可以理解，当样本数量较多时，这种算法的计算成本会很高。为了减轻计算负担，人们开发了各种以FFT为缩写的算法，将运算次数减少到O(N ln N)。
图6：就是上图的傅立叶频谱，但频率范围缩小了
(原文刊登于EDN姊妹网站Power Electronics News，参考链接：Scientific Notes on Power Electronics: Discrete and Fast Fourier Transforms，由Ricardo Xie编译。)
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