与人们普遍认为的相反，第一个半导体理论模型以及激子理论模型可以追溯到20世纪30年代。那是量子革命的黄金时代……
当然，在当时这还缺乏技术意义，以至于诺贝尔物理学奖得主W.Pauli写信给他的同事Peierls：“忘记半导体吧，它们是垃圾……也许它们甚至根本不存在”。
在之前的文章中，我们研究了可见光范围内的电磁辐射与半导体晶体之间的相互作用，尽管只是简单的研究。从现象上看，一束强度为I0(ν)的辐射束入射到厚度为d的晶体层上时，部分会被反射，部分会被吸收。吸收可以通过一个由吸收系数控制的指数阻尼来描述，吸收系数取决于频率ν，我们用µ(ν)表示，即：
由于µ(ν)取决于频率，其量纲为长度的倒数，是一个光谱量，因此可以呈现给定频段的特征值。典型值的范围为0<µ<106cm-1。对于Si/Ge(硅/锗)半导体，在可见光谱中µ(ν)≫1(对应于1.7÷3eV的能量范围)，然后在红外波段急剧下降。因此，硅和锗几乎能吸收所有可见辐射。
在光电导性的研究中，我们已经看到，入射电磁辐射的能量有利于电子从价带跃迁到导带，从而破坏了共价键。
应该注意的是，这不是量子跃迁(发生在原子和分子中的那种)，而是由于温度或电磁辐射而导致的一种统计机制。
然后我们仔细考虑了相应的自由电荷(电子和空穴)，除了与晶格(由周期性电势而理想化的)相互作用之外，没有其他相互作用。然而，在现实的讨论中，我们必须考虑电子和空穴之间的吸引力(库仑力)，即各自电荷的相反符号。实际上，我们可以考虑以下情况：
我们称这种系统为激子。由于空穴不是物理意义上的粒子，因此激子是一种准粒子，但在能量传输中发挥着重要作用，但由于它是电中性的，因此在电荷传输中不发挥什么重要作用。此类系统参与了半导体中的许多光学和光电过程。
在Wannier-Mott模型中，纯库仑势被晶体的电导率e所屏蔽，在现象上被假定为电子-空穴相互作用势，所以存在电子-空穴相对位置矢量r模的-r-1型相关关系。因此，与类氢系统有相似之处，其核是带正电荷的粒子Ze，其中Z是原子序数，e是电子电荷的绝对值。所以，我们有：
在式(1)中，严格来说，r是关于系统重心的相对核电子坐标。在类氢系统的情况下，重心实际上与原子核重合，因为与电子相比，原子核质量很大。然而，在激子中，我们必须严格假设r为相对距离，并参考重心的运动。然后，考虑到电导率，电子-空穴相互作用势可写为：
我们必须考虑表征所研究晶体的能量Eg。准确地说，通过将能量的零点放在价带顶部，我们可以得到电子的势能(从共价键中释放出来)为：
具有重要物理意义的束缚态的能量为0<E<Eg(图1)：E>0意味着共价键的断裂；E<Eg意味着没有足够的能量移动到导带。
因此，我们很有可能在释放的电子和相应的空穴之间形成一个束缚态。
图1：电子从入射电磁辐射接收能量
此时，我们要做的就是拿一本量子力学手册来回顾一下，氢原子的能量本征值和本征函数。沿着这个思路，我们可以写出激子(氢系)的本征值或能级，如下：
其中，μ是系统的简化质量：
其中m*e和m*h分别是电子和空穴的有效质量。表征稳态(即能级)的本征函数由量子数nlml确定。我们感兴趣的是n，因为它在(5)中标识了各个能级。结果表明，在一般能级n中，激子的“经典半径”≫玻尔半径(基态氢原子的“经典半径”，即n=1)，因此也远大于晶格常数。这意味着Wannier-Mott模型对于尺寸远大于晶体晶格常数的激子是有效的。
能级的排列如图2所示。显然，n=1是基态，而n=+∞的状态对应于电子处于导带的电离。我们要记住，我们是在重心静止的系统中工作，因此我们必须考虑平移运动的能量，由于系统的动量通过多个波和简化的普朗克常数来量子化地表达。准确地说，我们有：
该能量未量子化，因此在能级谱中(图2)会出现每个能级En的状态的连续体，每个状态都被称为激子带。
如果系统不受外部场的影响，重心最多只能做直线匀速运动。换句话说，我们的电子-空穴键合系统，在所做的假设中，最多只能做平移运动。
图2：激子的典型能级图(来源：《固体物理学导论》，C. Kittel)
在这个近似的顺序中，我们忽略了自旋。请记住，电子和空穴都是自旋为1/2的系统，总自旋为S=0(单重态)或S=1(三重态)。由此可见，S将出现在量子数nlml旁边。准确地说，如果自旋态是单重态，我们将讨论副激子；如果自旋态是三重态，我们将讨论正激子：与单重态相比，三重态在能量上受到抑制。
实验结果表明，在T=4K时硝基氧化铜的光谱中，发现了类氢系列：
双系列的出现是由于导带和价带的复杂性，因为类型(5)的类氢系列是在理想抛物线带模型中获得的。顺便说一句，关于激子态的早期研究工作主要集中在更现实的模型上。
由式(5)可得电离能：
其中：
是结合能。与氢键能(EB(H)=13.6eV)相比，我们有：
其中m是自由电子的质量。Ge/Si半导体的典型值为µ∼0。2,ε∼16,由此EB= 0.016eV，这个值明显低于室温下的热激发能。因此，除了在低温下之外，Ge/Si不适合激子的形成。相反，氧化亚铜和硫化镉等半导体即使在室温下也具有良好的激子浓度。
从实验的角度来看，从一个能级到另一能级的转变很有趣，并伴随着光子的吸收/发射。然而，调节这些过程的量子机制很复杂，因为它涉及到声子。因此，这超出了本文的讨论范围。
(原文刊登于EDN姊妹网站Power Electronics News，参考链接：Scientific Notes on Power Electronics: Wannier–Mott Excitons in Semiconductors，由Ricardo Xie编译。)
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