在之前的文章中，我们讨论了决定pn结反向饱和电流随温度变化而呈上升趋势的物理机制。在本文中，我们将研究所有极化的热效应。
在研究pn结中电流随温度(正向偏置)变化的行为之前，我们先对反向饱和电流的变化趋势进行分析论证，并遵循以下符号惯例：
v、i……等小写字母表示随时间变化的量。大写字母V、I……表示固定量，最多是参数变量的。
之前文章中找到的反向饱和电流的解析表达式如下：
为了方便起见，我们再次列举一下锗(Ge)和硅(Si)的实验数据：
方程(1)是变量T的函数，而不是外加电压V的函数，因为除非存在不可避免的击穿，否则反向饱和电流与V无关。函数(1)的一阶导数很容易计算，同样直接的对符号研究，从中可以清楚地看出I0(T)是一个单调递增函数。
有鉴于此，正向偏置热行为的研究在分析上更加复杂，因为电流是实变量(T,V)的非负实值函数：
其中a=1/11600(V/K)。I0电流的增加会导致正向偏置电流的增加。这并不奇怪，因为导致I0增加的物理过程从根本上说与少数载流子浓度增大有关，而这一过程在正向极化中也很活跃。
函数I(T,V)没有相对极值点，因为它的梯度始终不为零(I(T,V)关于V的偏导数是微分电导，始终为正)。图1中的I(T,V)图很有启发性，在图中我们可以看到电流随温度变化而增加的趋势，即图中与垂直于纵轴(电压)的平面相交的部分。在图2中，是在更宽的外加电压范围内的相同函数的图。我们可以研究以V为参数的I(T)的行为：我们对I(T)的单调性特别感兴趣，这相当于确定方程(3)关于变量T的偏导数的零点。不幸的是，由此产生的方程无法以封闭形式求解，因此在下一节中，我们将依靠计算分析。
图1：函数I(T,V)(方程(3))图，其中T在适当范围内变化，而V在0至0.7V之间变化。对于给定的V值，请注意电流随温度变化呈上升趋势的偏移区域。
图2：T的函数I(T,V)(方程(3))图，其中T在适当范围内变化，而V在0至2V之间变化
我们提出了一种计算分析方法，通过绘制电流(3)与正向偏置电压V的指定值的温度函数关系图来确定I(T)的增加/减少。为此，我们必须指定温度范围Tmin以及Tmax=500K，未表达最小温度值(最大值500K纯粹是理论值，从实验的角度来看，我们参考350K的阶跃值)。由计算分析可知，当V值远小于Vg时，电流I(T)是严格递增的函数；当V略高于Vg，存在一个温度T＊，使得当Tmin≤T<T＊时，函数I(T)单调递减，而当T＊<T≤Tmax时，I(T)为单调递增。换句话说，T＊是I(T)的相对极小点，我们用V＊表示V的预测值，但要注意(T＊, V＊)不是函数(3)的最小点。不过，我们预计T＊以及V＊与Tmin有关。
通过将结与液氮恒温器热接触(Tmin=77K)，然后在逐渐升高的温度下使用恒温器，对于锗，我们获得了图3的趋势。
图3：对于给定的外加电压V，直接极化电流随温度变化的趋势(锗的情况)
77K的选择并不是随意的，因为了解使用其他形式掺杂的低温下pn结的行为非常重要，在此范围内，结往往表现得像绝缘体，这代表了严重的技术限制(想想太空探测器上的设备)。
对于Tmin=77K，结果为T∗=81.2K，V*=0.799V，如图4所示。我们观察到T∗接近最低温度77K，因此在实验上意义不大。然而，我们用Mathematica验证(T∗, V*)不是函数I(T,V)的相对/绝对最小值点。正是通过ContourPlot指令，我们绘制了I(T,V)函数的电平曲线，即I(T,V)取常数值的TV坐标平面的曲线。图5显示，曲线并未在点(T∗, V*)附近闭合，而是在相对最小值或最大值的点处闭合。
图4：V=0.799V时，直接极化电流随温度变化的趋势 (以锗为例)
图5：函数I(T,V)在(T*=81.2K,V*=0.799V)邻域的一些电平曲线
为了在实验中确定电流趋势发生逆转时的温度T*，我们从V*=0.799V开始对电压V进行小幅增加。例如，对于V′=0.82V我们得到如图6所示的趋势，从中我们看到T′=203K。由此可见，随着V的增加，I(T)的极小点向横坐标增大的方向移动。这相当于说函数T＊(V)是单调递增的，因此将存在一个值Vcrit，其中T＊(Vcrit)>Tmax。由于这是一个超出范围的温度，因此对于V≥Vcrit，电流会随着属于观察范围的T值增加而减小。对于锗，计算分析得出的值为Vcrit=0.87V(图7)。就电平曲线而言，图8中的图形显示了两个点(T*，V*)，(T′，V′)，证实了之前的分析，根据该分析，作为偏置电压V，逆转温度趋向于V增加的方向。上述一对点是电流关于温度T的偏导数的两个不同的零点。
图6：V=0.82V时直接极化的电流趋势与温度的函数关系 (以锗为例)
图7：V=0.87V时直接极化的电流趋势与温度的函数关系(以锗为例)
图8：函数I(T,V)在I(T,V)对T的偏导数的两个不同零点附近的一些电平曲线
最后，我们注意到，随着Tmin值的逐渐减小，相应的V*也会减小。Tmin→0的极限是V∗→Vg，即以伏特为单位的禁带宽度。我们认为这一形式上的结果意义重大，应在亚微观尺度上研究这一奇特巧合的原因。
(原文刊登于EDN姊妹网站Power Electronics News，参考链接：Scientific Notes on Power Electronics: Thermal behavior of a PN junction，由Ricardo Xie编译。)
最前沿的电子设计资讯
