Stan Wagon在他的著作中提出了一个Mathematica例程，用于消除在绘制数值不稳定函数图形时的舍入误差。但在数值求解确定p型半导体中电子化学势的函数方程时，我们遇到了一个更为复杂的舍入问题。
为了快速回顾之前文章中提出的论点，让我们重写一下逸度z(T)的函数方程：
其中I=导带中的电子数，II=以−εa为中心的禁带能级中的电子数，III=价带中的空穴数。然后我们定义了无量纲量：
在低温范围内，I项可以忽略不计。从物理上讲，这意味着当T≪300K时，逸度z(T)接近于零。因此，在低温极限下，方程(1)的解表现得类似于以下方程的解：
这是z(T)的二次方程式。计算完成后(丢弃负根，因为必须要z(T)>0)：
化学势由下式给出：
为了确定T→0的极限，我们利用以下命题(证明就留给读者吧)：
命题1
其中：
等式(6)涉及：
即费米能级。(6)式有一个显著的物理解释，因为其值与正参数λ无关，因此也与三价杂质的总数Na(0)无关。我们发现，对于任何Na(0)>0，费米能级位于价带顶部与Na(0)产生的能级−εa的中间。在图1中，显示了指定Na(0)时函数(5)的趋势，从中我们可以看出，当0<T<100K时，化学势近似为μ0(方程(8))。
图1：低温极限化学势趋势
命题2
证明。证明方式与命题1类似。使用Mathematica类型的计算环境，证明当T→0时，逸度z(T)是无穷大阶的无穷小量，这与之前文章中证明的推论一致。
这里必须求解方程(1)，该方程显然是z(T)的三次方程。通过在Mathematica计算环境中编写适当的程序，我们发现Na(0)=102cm−3的图形趋势如图2所示，其中存在明显的舍入问题。通过缩小热范围并将其与在低温极限下找到的解(5)进行比较，我们得到了图3中的图形。通过MaxRecursion指令可以减少振荡次数，如图4所示。
图2：Na(0)=100的化学势趋势
图3：红色曲线是解(5)在低温下的图形，它试图将每个温度下的解决方案进行匹配，但徒劳无功
图4：与图3相同的图，不同之处在于我们使用MaxRecursion指令减少了振荡次数
从执行的图形分析中，我们推断出，对于Mathematica内核，当热力学平衡温度趋于零时，化学势趋于零。但据我们所知，这是一个错误，因为只有当禁带εg为零时才会出现这种情况。否则，化学势将位于−εg和−εa之间。误导Mathematica的是，在T→0的极限下，逸度z(T)是无穷大阶的无穷小量。简而言之，在T=0的右邻域中，Mathematica计算出这个量的指数小值，这就产生了如图5所示的不规则趋势。
图5：低温下的逸度z(T)趋势
我们进行了数学分析，从温度T到热能x=kBT，或者说，从能量单位(eV)到温度。以下是我们的结论：
舍入是由Na(0)>0产生的。显然，对于N(0)=0，我们就陷入了µ(T)的直接计算的固有情况。否则，掺杂(Na(0)>0)会破坏以封闭形式求解函数方程(1)的可能性。这样，数值解就无法基本表达了。
代换T→x=kBT压缩了自变量的尺度，抑制了振荡。然而，Mathematica内核仍然返回错误的结果µ(0)=0，如图(6)所示。
图6：随着变量T→x=kBT的变化，振荡消失，但对于Mathematica内核，化学势在T→0时的极限为零
最后，我们在图7中展示了三种情况下化学势的变化趋势：1)掺杂三价杂质(p型)；2)掺杂五价杂质(n型)；3)纯半导体。
图7：三种可能情况下的化学势趋势(温度值为指示值)。随着温度无限升高，两条曲线逐渐趋向于定义未掺杂半导体化学势的直线
(原文刊登于EDN姊妹网站Power Electronics News，参考链接：Scientific Notes on Power Electronics: chemical potential and difficult plots，由Ricardo Xie编译。)
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