本文中我们完成了从之前文章中开始的分析，使用Mathematica仿真了硅(Si)样品中铝(Al)原子的掺杂。由于工作量很大，我们将文章分为两部分。在这里，我们将研究电子自旋在三价杂质掺杂中的作用。
通过一系列问答，我们深入研究了铝等三价杂质的掺杂机制。图1举例说明了这一过程，打破共价键需要一定量的能量(热能)。为了不失一般性，我们以单位体积的Si样品为例。
图1：顶部的小红色矩形，其中指定了电子的自旋状态(蓝色箭头)，在热扰动后会发生断裂。因此，电子被释放，它没有获得属于导带的能量，而是完成了Si的一个价电子的自旋单重态，该价电子试图与三价杂质的缺失电子结合
问题：什么共价键断裂产生的电子会“填充”杂质空位，而不是进入导带(如没有杂质时发生的情况那样)？
答：对于每个三价杂质，相邻的Si原子中都存在一个未配对的电子，因此来自断裂共价键的电子倾向于与该电子一起完成自旋单量子态(图1)，留下一个空穴，而该空穴又可以由来自另一个断裂共价键的电子填充。通过添加大量杂质，可以重复此过程。结果就是形成同样数量的宏观空穴，因此在施加电场后，对电导率的主要贡献来自空穴(p型半导体)。
如图2所示，获得一个电子的单个三价杂质变成了负离子。与剩余的三个电子相比，多余的电子与离子的结合程度较低，因此其占据的能级略高于价带的顶部。大量三价杂质的存在会产生以−εa=−εg+∆为中心的极其密集的能谱，其中εg>0为禁带，而0<∆≪εg。根据泡利不相容原理，每个能级最多由两个具有反向平行自旋的电子占据。
图2：共价键断裂后获得电子，形成负离子
让我们回顾一下前面数字的符号：Ne(T)和Nh(T)分别是半导体在温度T下处于热力学平衡时导带中的电子数和价带中的空穴数。总电荷Q(T)表示为负电荷与正电荷之和：
和往常一样，如果e是电子电荷的绝对值，则我们有：
其中na(T)是负离子受体的数量。将(2)代入(1)中，可得：
下图总结了可能出现的情况，很有启发性：
如在前面的教程中看到的那样，在这三种情况下，Ne(T)、Nh(T)的量由下式给出：
如上所述，掺杂三价杂质会产生以−εa为中心的非常密集的能谱，如图3所示。高能谱密度使我们能够应用连续能谱近似：
图3：禁带中的每个能级最多被两个具有反向平行自旋的电子占据
按照(4)，我们在图4中展示了可能的情况，其中红色矩形表示连续谱近似。
图4：三种情况下能级的图形表示：1)本征型；2)n型；3)p型
在明确了这一点之后，电子通过能级(6)产生的空穴总数等于三价杂质的总数。设这个数字为Na(0)。在温度T>0时，电离的受体原子数由下式给出：
其中Na(T)是尚未电离的受体原子数。假设已知Na(0)，我们需要确定Na(T)。在进行此计算之前，让我们先研究一下方程(3)的物理内容，我们可以将其重写如下：
在绝对零度时，热能为零：共价键不会断裂，并且由于各个量为零，方程(8)简化为恒等式0=0。随着温度升高，共价键开始断裂，但如前所述，释放的电子不会进入导带，而是占据受体能级(在−εa附近)。由于泡利不相容原理(每个能级最多由两个具有反向平行自旋的电子占据)，这样的过程无法无限期地持续下去。因此，当温度达到所有受体能级都被占据的程度时，从共价键中释放出来的相应电子将被迫占据导带中的能级，众所周知，这就构成了连续能谱。为了更加定量，对于温度T>0但不太高的情况，方程(8)变为：
因为热能刚好足以将电子推到−εa附近的能级。因此，在这个温度范围内，Ne(T)=0。在适当的温度下，−εa中的电子可以进入导带，这个过程由完整的方程(8)控制。随着T无限增加：
由于在足够高的温度下，受体能级全部被占据，本征电导率被激活。现在让我们继续计算Na(T)，进而计算na(T)(方程(7))。利用费米-狄拉克分布函数，我们可以确定单个杂质的电离概率：
我们可以近似如下：
因此，我们有：
我们寻找的量是方程(7)，现在对于方程(13)来说，它变成：
将各种量代入方程(8)，我们得到：
μ(T)中的超越方程可以通过转换为逸度z(T)=exp(μ(T)/kBT)来代数化：
其中：
最后，我们强调了自旋单重态的形成所起的作用，它反映了泡利不相容原理，从而结束了这一部分分析，尽管它还具有丰富的物理内容。因此，我们面对的是典型的量子效应，而这些效应基本上超出了我们基于经典力学的认知范围。
(原文刊登于EDN姊妹网站Power Electronics News，参考链接：Scientific Notes on Power Electronics: the “dance” of electronic spin in p-type semiconductors，由Ricardo Xie编译。)
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